積分区間に変数が入る関数の扱い｜数II積分

「定積分で表された関数」には2つの型があります。混ざると解けません。

型	見分け方	やること
A	積分区間に がある	微分する
B	区間が数だけ（ は外にある）	定数とおく

「区間を見る」だけで型が決まります

型A：区間に x がある

この形はx の関数です。x が変われば積分の範囲が変わり、値も変わります。

使う道具は1つ。

積分して微分すれば、もとに戻る——これが微積分の基本です。

やってみる

を計算し、 と を求めなさい。

実際に積分します。

微分すると

被積分関数の t を x に変えただけです ○

また、下端を代入すると

　——下端を代入すると必ず0

積分の幅が0だからです。この2つが型Aの検算になります。

【検算】。定義から直接計算しても

一致 ○

型Aの応用：a と f を求める

が成り立つとき、 と定数 を求めなさい。

両辺を x で微分します。

次に を代入します。左辺は0になるので

または

【検算1】 で確かめます。

○

【検算2】 でも確かめます。

○　どちらも成り立ちます。答えが2つある問題です。

型B：区間が数だけ

この形の積分はただの数（定数）です。t で積分してしまえば、x は残りません。

とおく

やってみる

を満たす を求めなさい。

とおくと

この式を使って k を計算します。

これを解いて

したがって

【検算】求めた で積分し直します。

k と一致 ○　これが最も確実な検算です。

もう1問

を満たす を求めなさい。

【検算】 ○

なぜ t を使うのか

積分の中の文字は計算すると消えてしまう文字です。x を使うと、外の x と混ざって意味が分からなくなります。

積分の中は t、外は x

この使い分けを守るだけで、型の見分けもしやすくなります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 2つの型が同じ名前でまとめられるから

どちらも「定積分で表された関数」と呼ばれます。名前が同じなので、同じ解き方に見えます。

実際は片方は微分、片方は定数とおく——正反対の操作です。区間を見て分けるという一手が示されないと、両方でつまずきます。

2. 基本定理が公式として提示されるから

は微分と積分が逆の操作であることを表す、最も重要な定理です。

ところが数IIでは使うための公式として登場します。意味を味わう時間が取りにくく、記号の操作として覚えられがちです。

3. 変数 t と x の違いが説明されにくいから

積分の中の文字は計算すれば消える——この性質は当たり前すぎて説明されません。

しかしなぜ文字を変えるのかが分からないと、型Bで「x で積分してしまう」誤りが起こります。

【検算】3つの方法

1. 実際に積分を実行する

最も確実です。

【検算】 ○

2. 下端を代入して0になるか（型A）

【検算】 ○

3. 微分して被積分関数に戻るか（型A）

【検算】 ○　被積分関数と一致

よくあるミス

ミス1：型Bを微分しようとする

定数なので微分すると0です。

ミス2：型Aを定数とおく

区間に x があれば関数です。

ミス3：積分の中で x を使う

t を使います。

ミス4：下端の代入を忘れる

が a を求める式になります。

ミス5：a が2つあるのに1つで終える

二次方程式なら2つあります。

ミス6：k を求めて満足する

聞かれているのは です。

練習問題

1. を計算しなさい。
2. 1を微分しなさい。
3. 1に を代入しなさい。
4. から を求めなさい。
5. 4の をすべて求めなさい。
6. を解きなさい。
7. を解きなさい。

解答

2. （被積分関数と一致）
3. 0
6. なので
7. なので

まとめ

• 区間に x があれば型A（微分する）
• 区間が数だけなら型B（定数とおく）
• 型Aでは下端を代入すると0
• 型Aの微分は被積分関数の t を x に変えるだけ
• 型Bはk とおいて方程式にする
• 検算は積分を実行／下端で0／微分して戻す

この単元でつまずく人の大半は、問題を見た瞬間に型を決めていません。式を写したら、まず積分区間に丸をつける。それだけで、やるべき操作が自動的に決まります。数IIIでも同じ判断を使い続けます。