等差数列と等比数列の一般項の作り方｜数B数列

等差数列の一般項は 。なぜ ではなく なのか——ここを説明できますか。

理由が分かれば、符号も回数も二度と間違えません。数えているのは項の個数ではなく、「矢印の本数」だからです。

結論：足す回数は 回

から までを図にします。

項は 個ありますが、矢印は 本です。

項
から足した回数	0	1	2	3

第 項なら 回。だから

等比数列も同じで、かける回数が 回。

「項の個数 が間の数」——植木算と同じ発想です。

やってみる1：等差数列

の一般項を求めよ。

差を調べる

差が一定4なので等差数列。初項は3。

【検算】代入して確かめます。

	1	2	3	4	5
	3	7	11	15	19

もとの数列と一致 ○

【検算2】等差数列の一般項は の1次式になるはずです。 は1次式 ○

【検算3】1次式の傾き4は公差と一致します ○　これも良い確認になります。

やってみる2：等比数列

の一般項を求めよ。

比を調べる

比が一定3なので等比数列。初項は2。

【検算】

	1	2	3	4	5
	1	3	9	27	81
	2	6	18	54	162

一致 ○　 のとき指数が0になって ——ここが の効いているところです。

2つの項から求める：等差

等差数列で 、 のとき、一般項を求めよ。

差をとって を出す

から までは4回足しています。

ここでも「間の数」を数えます。 回。

初項を出す

【検算】 ○、 ○

【検算2】 ○　初項とも合っています。

2つの項から求める：等比

等比数列で 、 のとき、一般項を求めよ。

割って を出す

から までは3回かけています。

初項を出す

【検算】 ○、 ○

等差は引く、等比は割る。操作が対応しています。

どちらでもない数列

は等差数列か等比数列か。

差を見る

一定ではないので等差数列ではありません。

比を見る

一定ではないので等比数列でもありません。

実際この数列は です。

【検算】、、、 ○

【検算2】差が と2ずつ増えているのも特徴です（階差数列が等差）。

見分け方のまとめ

	等差数列	等比数列
一定なもの	差（引く）	比（割る）
一般項
式の形	の1次式	指数の形
2項から求める	引いて	割って

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. の理由が「そういう公式」で流されやすいから

公式は与えられればすぐ使えます。だから理由の説明が短くなる。

ところが「矢印の本数を数えている」という理解がないと、 から までが何回かという場面で必ず迷います。実際、この型の問題での失点は回数の数え違いがほとんどです。

2. 「2つの項から求める」手順が型として示されにくいから

やることは「引いて 」「割って 」の2つだけ。ところが例題ごとに連立方程式を立てる形で解かれることも多く、共通の型として見えにくい。

と なら 回——この1行を持っていれば、連立を立てずに済みます。

3. 一般項の「形」が検算に使えると示されにくいから

等差数列の一般項は必ず の1次式、等比数列は必ず指数の形です。

これは強力な検算になりますが、公式を導く過程の副産物なので、検算方法として明示されにくい。1次式の傾きが公差と一致することも同様です。

【検算】3つの方法

1. を代入する

最も確実です。もとの数列に戻るか確かめます。

【検算】： ○

2. 差（比）が一定か確かめる

一般項から作った数列で、差や比が想定どおりか見ます。

【検算】： で差はすべて3 ○

3. 式の形を確認する

等差なら1次式、等比なら指数。形が違えば計算ミスです。

【検算】 は指数の形 ○　 で となり初項2 ○

よくあるミス

ミス1： 回足してしまう

回です。矢印の本数を数えます。

ミス2： から までの回数を間違える

回です。 から なら4回。

ミス3：等比で指数を にする

です。 で になるのが正しい。

ミス4：公差を求めるとき引く順序を逆にする

後ろから前を引きます。。

ミス5：等比の比を引き算で求める

等比は割ります。操作が違います。

ミス6：どちらでもない数列に公式を使う

差か比が一定かを先に確かめます。

練習問題

1. の一般項を求めなさい。
2. の一般項を求めなさい。
3. 等差数列で 、 のとき一般項を求めなさい。
4. 等比数列で 、 のとき一般項を求めなさい。
5. が等差数列でも等比数列でもないことを示しなさい。
6. 1の数列の第10項を求めなさい。
7. 2の数列の第5項を求めなさい。

解答

1. 初項3、公差4。。検算： で ○
2. 初項2、公比3。。検算： で ○
3. より 、。。検算： ○
4. より 、。。検算： ○
5. 差は で一定でなく、比は で一定でない。どちらでもない（実際は ）
6. 39。検算： ○
7. 162。検算： ○

まとめ

• は「矢印の本数」（項の個数 ）
• 等差：、等比：
• 等差は引く、等比は割る
• と からなら 回
• 一般項は等差＝1次式、等比＝指数の形
• 差も比も一定でなければどちらでもない
• 検算は を代入／差・比が一定か／式の形

数列は「番号と値の対応」——つまり関数です。等差数列が1次関数、等比数列が指数関数に対応している。連続な世界の関数を、番号だけに絞って見たものが数列だと思えば、グラフの感覚がそのまま使えます。