等積変形で面積を移す考え方｜中学受験平面図形

等積変形は「形を変えても面積は変えない」技術です。使いどころは1つ。

複雑な図形を、面積の等しい簡単な図形に置きかえる

根拠になる事実も1つだけです。

根拠：底辺が同じで、平行な線の上なら面積は同じ

（三角形の面積）＝（底辺）×（高さ）÷2

底辺を固定したまま、頂点を底辺に平行な直線の上で動かすと、高さが変わりません。だから面積も変わりません。

底辺BCが4cm、高さが3cmの三角形ABCがあります。頂点AをBCに平行に動かしても面積は変わらないことを確かめなさい。

6平方センチメートル。Aをどこへ動かしても、高さが3cmのままなら答えは6のままです。

【検算】Aを右に10cm動かしても ○　横にずれても高さは変わりません。

「平行に動かす」＝「高さを変えずに動かす」

やってみる1：四角形を三角形に直す

下の四角形ABCDと同じ面積の三角形を作りなさい。Aは真上、Bは左下の角、Cは右へ4cm、Dはさらに右上の点とします。

方眼で考えます。A(0,4)、B(0,0)、C(4,0)、D(6,3) としましょう。

手順

1. 対角線ACを引く
2. DからACに平行な直線を引く
3. その直線と辺BCをのばした線との交点をEとする
4. 三角形ABEが答え

なぜ面積が変わらないのか

三角形ACDと三角形ACEは、底辺ACが共通で、DとEはACに平行な直線の上にあります。

三角形ACD ＝ 三角形ACE

四角形ABCDは三角形ABC＋三角形ACD、三角形ABEは三角形ABC＋三角形ACE。共通部分に等しいものを足しているので、全体も等しいのです。

実際に計算して確かめる

ACの傾きは、右へ4・下へ4なので1マス右に1マス下。Dから同じ傾きで下ろすと

x軸との交点はE(9,0)です。三角形ABEの面積は

【検算】四角形ABCDを2つの三角形に分けて計算します。

三角形ABCは

三角形ACDは、底辺ACを使わずB側から引いて求めます。台形ABCDの一部として

——つまり三角形ACDは10。合計 ○　一致しました。

やってみる2：平行四辺形の中の点

平行四辺形ABCDの内部に点Pをとります。三角形PABと三角形PCDの面積の合計は、平行四辺形の何倍ですか。

ABとCDは平行で長さも同じです。

• 三角形PABの高さ ＝ PからABまでの距離
• 三角形PCDの高さ ＝ PからCDまでの距離

この2つを足すと平行四辺形の高さになります。

（底辺）×（高さ1）÷2 ＋（底辺）×（高さ2）÷2

——は

（底辺）×（高さ1＋高さ2）÷2 ＝（平行四辺形の面積）÷2

ちょうど半分です。Pがどこにあっても変わりません。

【検算】底辺6cm・高さ4cmの平行四辺形（面積24）で、Pが下から1cmの位置なら

○　一致します。Pを上下に動かしても、2つの高さの和は4cmのままです ○

やってみる3：面積を2等分する直線

三角形ABCの面積を、頂点Aを通る直線で2等分するには、どこを通ればよいですか。

辺BCの真ん中（中点）です。

底辺が半分になり、高さは共通なので、面積も半分になります。

【検算】底辺4cm・高さ3cm（面積6）なら、底辺2cmずつに分かれて

どちらも3でちょうど半分 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「面積が変わらない」ことが結論として教えられやすいから

平行線と面積の関係は事実として提示されます。ところがこれは使うための道具です。

どんな場面で使うか——複雑な図形を簡単にしたいとき——という目的が示されないと、知っていても使えません。

2. 自分で線を引く必要があるから

等積変形では問題の図に描かれていない線（平行線や対角線）を、自分で引きます。

与えられた図の中で解く練習が中心だと、線を足すという発想が出てきにくいのです。

3. 平行線と面積は中学2年の内容だから

「平行線にはさまれた三角形の面積は等しい」——これは中学2年で扱われます。

中学受験では小学生が使いますが、学年をまたぐ内容のため、根拠を式で確認する場面が作られにくいのです。

【検算】3つの方法

1. 変形前と変形後を、それぞれ計算する

最も確実です。方眼なら数えられます。

【検算】四角形ABCD＝18、三角形ABE＝18 ○

2. 「底辺が共通」「平行」の2条件を確認する

どちらか欠けたら成り立ちません。

【検算】底辺AC共通 ○、DEはACと平行 ○

3. 全体から引いた残りと合うか

【検算】、三角形ACDも10 ○

よくあるミス

ミス1：平行でない方向に動かす

高さが変わってしまいます。

ミス2：底辺を変えてしまう

底辺は固定したまま動かします。

ミス3：どの三角形が等しいか取り違える

共通の底辺を先に決めます。

ミス4：交点を辺の内側に取ろうとする

辺をのばした先になることもあります。

ミス5：等積変形で長さも変わらないと思う

変わらないのは面積だけです。

ミス6：検算せずに図の見た目で判断する

必ず計算で確かめます。

練習問題

1. 底辺4cm・高さ3cmの三角形の面積を求めなさい。
2. 頂点を底辺に平行に動かしたとき、面積がどうなるか答えなさい。
3. A(0,4)、B(0,0)、C(4,0)、D(6,3)の四角形ABCDの面積を求めなさい。
4. 3をDからACに平行な線で三角形に直したとき、その底辺の長さを求めなさい。
5. 4の三角形の面積を求め、3と一致するか確かめなさい。
6. 底辺6cm・高さ4cmの平行四辺形の内部の点Pについて、三角形PABと三角形PCDの合計を求めなさい。
7. 三角形の面積を頂点を通る直線で2等分するには、どこを通るか答えなさい。

解答

1. 6平方センチメートル
2. 変わらない（高さが同じだから）
3. 18
4. E(9,0)なので底辺BEは9
5. ○　一致
6. 12平方センチメートル
7. 向かい合う辺の中点

まとめ

• 等積変形は面積を変えずに形を簡単にする技術
• 根拠は底辺が共通＋平行なら面積が等しい
• 四角形は三角形1つに直せる
• 平行四辺形の中の点では向かい合う2つの三角形の和が半分
• 2等分は中点を通る直線
• 検算は前後の面積計算／2条件の確認／残りとの照合

等積変形の価値は、「計算しやすい形に変えてよい」と気づくことにあります。図形問題で手が止まったら、平行な線を1本引けないか探してみてください。面積を動かせる場所が見つかれば、問題は一気に簡単になります。