つるかめ算を面積図で解く意味｜中学受験特殊算

つるかめ算の面積図は「なんとなく描く図」ではありません。掛け算の構造を、そのまま長方形にしたものです。

（1つあたりの数）×（個数）＝（合計）

これは（たて）×（よこ）＝（面積） とまったく同じ形。だから長方形で描けます。

まずは問題

ツルとカメが合わせて10匹います。足の数の合計は32本です。ツルとカメはそれぞれ何匹でしょう。

ツルの足は2本、カメの足は4本です。

解き方：全部ツルだと仮定する

ステップ1：全部ツルなら

足は20本のはずです。

ステップ2：実際との差

12本足りません。

ステップ3：1匹入れ替えるといくつ増えるか

ツル1匹をカメ1匹に替えると

2本増えます。

ステップ4：何匹替えればよいか

カメが6匹。ツルは 羽です。

【検算】足の数を数えます。

一致 ○　匹数も ○

面積図で見ると

よこを匹数、たてを1匹あたりの足の数にします。

	よこ（匹数）	たて（1匹の足）	面積（足の合計）
ツル	4	2	8
カメ	6	4	24
合計	10	—	32

2つの長方形の面積の合計が32——これが問題の条件そのものです。

「全部ツル」は、どの長方形か

よこ10、たて2の長方形です。面積は20。

実際の図との差は「カメの部分の、たての差」にあたります。

差の面積 ＝ × （カメの匹数）

（カメの匹数）　→　カメは 匹

【検算】差の長方形はよこ6、たて2で面積12 ○　確かに足りない分と一致します。

面積図は「仮定して差をとる」という手順を、そのまま絵にしたものです。新しい解き方ではありません。

中学以降では：連立方程式と同じこと

ツルを 羽、カメを 匹とすると

1つ目の式を2倍して2つ目から引きます。

【検算】「1つ目を2倍」は「全部ツルと仮定」そのもの。引き算は「差をとる」そのもの。

まったく同じ計算をしています ○　つるかめ算は連立方程式の、文字を使わない形です。

同じ図が使える例1：平均

男子10人の平均が70点、女子15人の平均が80点でした。全体の平均は何点でしょう。

よこを人数、たてを平均点にすると、面積が合計点になります。

全体は25人なので

76点です。

【検算1】 ○

【検算2】単純に としてはいけません。人数が違うからです。

人数の多い女子（80点）に引っ張られて75点より高い76点になる——図を見ればすぐ分かります ○

【検算3】70と80の間にあるか。 ○　平均が両端の外に出ることはありません。

同じ図が使える例2：速さ

全部で3時間歩き、道のりは合計14kmでした。時速4kmで歩いた時間と、時速6kmで歩いた時間はそれぞれ何時間でしょう。

よこを時間、たてを速さにすると、面積が道のりになります。

全部時速4kmだと仮定

実際は14kmなので、差は2km。

1時間入れ替えると

2km増えるので

時速6kmで1時間、時速4kmで2時間です。

【検算】道のりを計算します。

時間も ○

まったく同じ手順でした。「1つあたり × 個数 = 合計」の形なら、いつでも同じ図が使えます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 面積図が「解き方の1つ」として教えられやすいから

面積図はつるかめ算の解法として紹介されることが多い。するとその問題専用の道具に見えます。

本当は「掛け算の構造を絵にしたもの」。だから平均でも速さでも濃度でも同じ図が使えます。この一般性が示されないと、問題ごとに別の図を覚えることになります。

2. 「仮定して差をとる」と連立方程式の対応が示されにくいから

つるかめ算は小学生の解法、連立方程式は中学の解法——別々に扱われます。

ところがやっている計算はまったく同じ。「全部ツルと仮定」＝「1つ目の式を2倍して引く」。学年をまたぐので対比する場面がないのですが、対応が分かると両方の理解が深まります。

3. 加重平均と単純平均の違いが見えにくいから

平均の問題では「70と80だから75」としてしまう誤りが起こります。

面積図ならよこの長さ（人数）が違うことが一目で分かる。図を描かずに数だけ見ると、この違いが見えません。

【検算】3つの方法

1. 求めた答えを問題の条件に戻す

最も確実です。両方の条件を満たすか確かめます。

【検算】ツル4・カメ6：匹数10 ○、足32本 ○

2. 面積の合計が合っているか

2つの長方形の面積の和が全体になるはずです。

【検算】 ○、 ○

3. 答えが妥当な範囲にあるか

平均は両端の間、個数は0以上で合計以下。

【検算】 ○、 ○

よくあるミス

ミス1：入れ替えで増える数を間違える

（大きいほう）（小さいほう）です。ここでは 。

ミス2：求めたのがどちらか分からなくなる

「全部ツルと仮定」なら、出るのはカメの数です。

ミス3：平均を単純平均で出す

人数が違えば加重平均です。合計を出してから割ります。

ミス4：たてとよこを取り違える

たては「1つあたり」、よこは「個数」。面積が合計です。

ミス5：単位をそろえない

速さと時間など、単位が合っているか確認します。

ミス6：検算をしない

2つの条件（合計の個数と合計の量）を両方確かめます。

練習問題

1. ツルとカメが合わせて10匹、足が32本のとき、それぞれ何匹か求めなさい。
2. 1の答えを検算しなさい。
3. 1を連立方程式で解きなさい。
4. 男子10人の平均70点、女子15人の平均80点のとき、全体の平均を求めなさい。
5. 4で単純に としてはいけない理由を答えなさい。
6. 3時間で14km、時速4kmと時速6kmのとき、それぞれ何時間か求めなさい。
7. 面積図の「たて」「よこ」「面積」が何を表すか答えなさい。

解答

1. 全部ツルなら20本、差12本、1匹で2本増えるので 。カメ6匹、ツル4羽
2. ○、 ○
3. 、。1つ目を2倍して引くと 、
4. 76点
5. 人数が違うから。人数の多い女子（80点）に近づく
6. 全部時速4kmなら12km、差2km、1時間で2km増えるので1時間。時速6kmで1時間、時速4kmで2時間
7. たて＝1つあたりの量、よこ＝個数、面積＝合計

まとめ

• 面積図は（1つあたり）×（個数）＝（合計）を長方形にしたもの
• 解き方は①全部片方と仮定 ②差をとる ③1つ替えると増える数で割る
• 連立方程式とまったく同じ計算をしている
• 平均・速さ・濃度でも同じ図が使える
• 平均は人数（よこ）で重みがつく——単純平均ではない
• 検算は条件に戻す／面積の合計／範囲が妥当か

面積図の価値は「掛け算を、目に見える形にする」ことにあります。数だけでは気づけない関係が、長方形にすると一目で分かる。式が使えるようになっても、この図は捨てないでください。複雑な問題ほど、図が助けてくれます。