ベクトル方程式（直線・円）の読み方｜数Cベクトル

「ベクトル方程式」という名前で身構える人が多いのですが、中身は単純です。

点がどう動くかを書いた「説明書」

方程式を解くのではなく、読む——そのつもりで見ると一気に分かります。

直線：通る点＋進む向き

記号	意味
	通る点（出発点）
	方向ベクトル（進む向き）
	実数（どれだけ進むか）

t を動かすと点Pが動き、その軌跡が直線になります。t は「時刻」だと思うと分かりやすい。

やってみる

点A(1,2)を通り、方向ベクトル の直線について、t にいくつか値を入れて点を求めなさい。また、x と y の式に直しなさい。

成分で書くと

t	-1	0	1	2
点	(-2,1)	(1,2)	(4,3)	(7,4)

t を消去する

から 。これを x の式に入れます。

【検算】4つの点をすべて代入します。

すべて0 ○　どの点も直線上にあります。

2点を通る直線

A、Bを通る直線は、方向ベクトルを とすればよいので

この形は内分点の式と同じです。

t	0	1/2	1
点	A	ABの中点	B

A(1,2)、B(4,3)なら で

【検算】 ○　さきほどの直線と同じです。

なら線分AB、t が実数全体なら直線全体——範囲が図形を決めます。

法線ベクトルを使う形

直線に垂直なベクトル を使うと

「Aから点Pへ向かうベクトルが、 と垂直」という意味です。

、A(1,2)とすると

同じ直線になりました ○

【検算】方向ベクトル と法線ベクトル の内積は

垂直 ○　「 の係数 が法線ベクトル」という事実も確かめられます。

円：中心からの距離が一定

「中心Cからの距離が r」——円の定義そのものです。成分で書けば

（中心(2,3)、半径5の場合）

【検算】点(5,7)を代入します。

円周上 ○

直径の両端を使う形

A、Bを直径の両端とすると

「PAとPBが垂直」という意味。直径に対する円周角は直角だからです。

A(-3,3)、B(7,3)なら中心は(2,3)、半径は5。点(5,7)で確かめると

Aから点(5,7)へのベクトルは

Bから点(5,7)へのベクトルは

この2つの内積を計算します。

垂直 ○　さきほどの円と同じものを表しています。

3つの表し方は同じもの

表し方	直線の式
媒介変数
法線ベクトル
x, y の式

どれも同じ直線です。問題によって使いやすい形が違うだけ。行き来できることが実力になります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「方程式」という名前で誤解されるから

方程式と聞くと解くものだと思います。ところがベクトル方程式は図形を表す式——解くのではなく読むものです。

この違いが最初に示されないと、何をすればよいのか分からないまま公式を覚えることになります。

2. パラメータ t の意味が説明されにくいから

t は実数全体を動く変数です。t が1つ決まると点が1つ決まる。t の範囲が図形の範囲を決めます。

ところが t は最後に消去してしまうことが多く、役割を実感する場面が少ないのです。

3. 3つの表現が別々に登場するから

媒介変数表示・法線ベクトル・成分の式——教科書では順に出てきます。

同じ直線の言い換えだと確認する場面が作られにくいため、3つ別々に覚えることになりがちです。

【検算】3つの方法

1. パラメータに値を入れて点を出す

最も確実です。出した点が式を満たすか確かめます。

【検算】 で(4,3)。 ○

2. パラメータを消去して x, y の式にする

【検算】 を代入して ○

3. 方向ベクトルと法線ベクトルの内積を見る

0になるはずです。

【検算】 ○

よくあるミス

ミス1：方向ベクトルと法線ベクトルを取り違える

内積が0かどうかで確認します。

ミス2：t の範囲を無視する

線分か直線かが変わります。

ミス3：円の式で半径を2乗し忘れる

右辺は です。

ミス4：中心の符号を間違える

の形です。

ミス5：媒介変数を消去せずに答える

問われている形を確認します。

ミス6：内分の式と混同する

は同じ形です（混同ではなく同一）。

練習問題

1. A(1,2)、 の直線を成分で表しなさい。
2. t に -1、0、1、2 を入れて点を求めなさい。
3. t を消去して x, y の式にしなさい。
4. A(1,2)、B(4,3)のとき、 の点を求めなさい。
5. 法線ベクトル を使って直線の式を作りなさい。
6. 方向ベクトルと法線ベクトルの内積を求めなさい。
7. 中心(2,3)・半径5の円の式を書き、点(5,7)が円上か調べなさい。

解答

2. (-2,1)、(1,2)、(4,3)、(7,4)
4. (2.5, 2.5)（中点）
5. すなわち
6. 0（垂直）
7. 、 なので円上

まとめ

• ベクトル方程式は点の動き方の説明書
• 直線は通る点＋方向ベクトル＋パラメータ
• 2点を通る形は内分点の式と同じ
• 法線ベクトルなら内積＝0で表せる
• 円は中心からの距離が一定（直径の両端なら内積0）
• 検算は値を入れる／消去する／内積を見る

ベクトル方程式が読めるようになると、図形の問題を「点の動き」として捉えられるようになります。この見方は、数IIIの媒介変数表示や物理の運動にそのままつながります。t を時刻だと思って、点が動く様子を頭の中で再生してみてください。