約数の個数と総和の求め方｜中学受験数の性質

約数を全部書き出さなくても、個数と合計は計算で出せます。

まず素因数分解。あとは指数を使うだけ

公式を覚えるより、なぜそうなるかを押さえたほうが速く身につきます。

約数の個数

72の約数は何個ありますか。

素因数分解する

指数に1を足してかける

12個です。

なぜ「1を足す」のか

72の約数は、2を何個、3を何個使うかで決まります。

素因数	使える個数	選び方
2	0、1、2、3個	4通り
3	0、1、2個	3通り

0個を選ぶ場合があるから、指数より1つ多くなる——これが「+1」の正体です。

【検算】実際に全部書き出します。

12個 ○　公式と一致しました。

約数の総和

72の約数をすべて足すといくつですか。

素因数ごとに「0個から全部まで」の和を作り、それをかけます。

195です。

なぜかけ算でよいのか

かっこを展開すると

12個の項ができ、それが12個の約数そのものになります。

だから展開した和＝約数の合計です。

【検算1】実際に足してみます。

一致 ○

【検算2】項の数を確認します。展開すると 項。約数の個数と同じ ○

もう1問：100で確かめる

【検算】約数は の9個。

どちらも一致 ○

平方数は約数が奇数個

約数はペアで現れます。72なら

ペア	積
1 と 72	72
2 と 36	72
3 と 24	72
4 と 18	72
6 と 12	72
8 と 9	72

6組で12個——だからふつうは偶数個です。

ところが平方数のときだけ、相手が自分自身になるペアができます。

100なら 。10だけ相手がいないので奇数個になります。

【検算】100の約数は9個（奇数）○　36も で9個 ○

約数が奇数個 ⟺ 平方数

約数がちょうど3個の数

約数がちょうど3個になる数はどんな数ですか。

個数の公式は（指数+1）のかけ算。3は素数なので、3 = 3 の1通りしか作れません。

つまり指数が2の素因数が1つだけ——素数の2乗です。

【検算】4の約数は の3個 ○　9は で3個 ○

【検算2】6は なので 個。3個にはなりません ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 公式が結論だけ示されやすいから

「指数に1を足してかける」——手順としては1行です。使えば答えが出ます。

ところがなぜ+1なのか（0個を選ぶ場合がある）を押さえないと、総和の公式が別物に見えてしまいます。2つは同じ考え方から出ています。

2. 総和の公式が展開の話だから

を展開すると約数が全部出てくる——これは分配法則の考え方です。

約数は数の性質、展開は式の計算——単元が分かれているため、つなげて説明する場面が作られにくいのです。

3. 素因数分解の必修配当が短いから

素因数分解は中学1年で扱われますが、約数の個数や総和までは踏み込みません。中学受験や高校の整数分野で本格的に使います。

学年をまたぐ内容のため、体系的に練習する場が限られています。

【検算】3つの方法

1. 小さい数で全部書き出す

最も確実です。公式が正しいか確かめられます。

【検算】72の約数は12個 ○

2. 約数をペアにする

積がもとの数になるペアを作ります。

【検算】 ○　6組で12個

3. 総和を実際に足す

【検算】 ○

よくあるミス

ミス1：指数をそのままかける

1を足してからかけます。

ミス2：素因数分解を間違える

かけ算で戻して確認します。

ミス3：総和の公式で1を入れ忘れる

0個の場合（1）から始めます。

ミス4：1ともとの数を数え落とす

どちらも約数です。

ミス5：平方数で数え間違える

ルートの部分は1個だけ数えます。

ミス6：個数と総和を取り違える

問われているのはどちらか確認します。

練習問題

1. 72を素因数分解しなさい。
2. 72の約数の個数を求めなさい。
3. 72の約数をすべて書き出して確かめなさい。
4. 72の約数の総和を求めなさい。
5. 100の約数の個数と総和を求めなさい。
6. 約数が奇数個になるのはどんな数か答えなさい。
7. 約数がちょうど3個になる数を4つ答えなさい。

解答

2. 12個
3. 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72の12個 ○
4. 195
5. 個数9個、総和217
6. 平方数
7. 4、9、25、49（素数の2乗）

まとめ

• まず素因数分解
• 個数は（指数+1）のかけ算（0個を選べるから+1）
• 総和は各素因数の和のかけ算（展開すると全約数になる）
• 約数はペアで現れる——平方数だけ奇数個
• 約数3個は素数の2乗
• 検算は書き出す／ペアにする／実際に足す

約数の問題は「素因数分解さえできれば、あとは選び方を数えるだけ」です。場合の数の考え方が、そのまま数の性質に使われている——この見え方ができると、整数の問題がぐっと解きやすくなります。