変化の割合が一定でない理由｜中3関数y=ax²

一次関数では「変化の割合＝傾き」で一定でした。ところが になると区間ごとに値が変わります。「変化の割合を求めよ」と言われて、どの区間か分からず固まる——中3で頻出のつまずきです。

なぜ一定でないのか。そしてどう計算すれば速いのかを押さえます。

結論： が大きいほど の増え方が急になるから

で、 を1ずつ増やしたときの の増え方を見てください。

	0	1	2	3	4	5
	0	1	4	9	16	25
増加量	—	1	3	5	7	9

増加量が 1, 3, 5, 7, 9 と増え続けています。一定ではありません。

一次関数なら、この行がすべて同じ値になります（それが「傾きが一定」の意味）。 では増え方そのものが変わる。だからグラフが曲がるのです。

公式：両端の和に をかけるだけ

で が から まで変わるときの変化の割合は

導出は簡単です。定義どおり書いて因数分解するだけ。

平方の差 が使えて、分母と約分できる——これが公式の正体です。

【検算】 で なら 。
定義どおり計算すると 。一致します。

この公式の便利さ

で が から まで変わるとき。

公式なら：。暗算で終わります。

定義どおりなら：。

同じ答えですが、公式のほうが圧倒的に速いです。

なぜ「両端の和」なのか（意味を考える）

公式 は と書き直せます。

は区間の中点です。つまり

変化の割合 （区間の中点の 座標）

変化の割合は、区間の真ん中の位置だけで決まるのです。区間の幅は関係ありません。

【検算】 で中点が2になる区間をいくつか試します。

区間	中点	変化の割合
	2
	2
	2
	2

幅がまったく違うのに、すべて4です。中点が同じなら変化の割合も同じ——これは高校の微分（平均変化率と微分係数）につながる大事な性質です。

【検算】いくつかの関数と区間で公式を確認

関数	区間	公式	定義どおり
			○
			○
			○
			○

すべて一致しました。公式を使ったあとは、必ず1つは定義どおりに計算して確かめる習慣をつけてください。

符号の意味

変化の割合が正なら区間全体で増加傾向、負なら減少傾向です。

（）なら

• （区間が原点より右寄り）→ 変化の割合は正
• （原点より左寄り）→ 負
• （原点対称の区間）→ 0

【検算】 で は 。
実際 。両端の が同じだから0です。左右対称なグラフなので当然の結果です。

よくあるミス

ミス1：区間を指定せずに答えようとする

の変化の割合は区間ごとに違います。「この関数の変化の割合は？」という問いは、区間の指定がなければ答えられません。

問題文に必ず「 が〜から〜まで変わるとき」と書いてあるはずなので、そこを読み落とさないこと。

ミス2：公式を と覚える

和です、差ではありません。。

確認法： で を入れる。和なら 、差なら 。
定義どおりは 。和が正解だと確かめられます。

ミス3：一次関数の感覚で「傾き」と呼ぶ

のグラフに「傾き」という一定の値はありません。あるのは区間ごとの変化の割合で、これは2点を結んだ直線の傾きに相当します。

練習問題

1. で が2から5まで変わるときの変化の割合を求めなさい。
2. で が から4まで変わるときの変化の割合を求めなさい。
3. で が1から3まで変わるときの変化の割合を求めなさい。
4. で が1から3まで変わるときの変化の割合が8であった。 を求めなさい。
5. で変化の割合が0になる区間の条件を述べなさい。

解答

1. 。検算： ○
2. 。検算： ○
3. 。検算： ○
4. より 、。検算： で ○
5. 、すなわち区間が原点について対称のとき（）

まとめ

• 変化の割合が一定でないのは、 が大きいほど の増え方が急になるから
• 公式は——両端の和に をかける
• 導出は平方の差の公式で約分するだけ
• 変化の割合は区間の中点だけで決まる（幅は無関係）
• 符号は の符号（ のとき）で決まる
• 必ず区間の指定を確認し、公式のあとは定義どおりに検算する

「区間の中点だけで決まる」という性質は、高校の微分で平均変化率として再登場します。さらに区間の幅を0に近づけると微分係数になり、放物線の接線の傾きが求まります。中3のこの計算は、その入り口にあたります。