分母に2項がある式の有理化｜中3平方根

分母が だけなら、同じものをかければ有理化できます。では分母が のときはどうするか。

符号を1か所だけ変えたもの（共役）をかける

使うのは、中3で習ったばかりの公式1つだけです。

なぜ共役をかけると根号が消えるのか

に をかけてみます。

2乗されるので根号が外れます。これが共役をかける理由です。

【検算】展開して確かめます。

まん中の項が打ち消し合う ○　だから根号が残りません。

やってみる1：分子が1

を有理化しなさい。

分母と分子に をかけます。

【検算1】おおよその値で確かめます。 として

一致 ○

【検算2】逆に、答えの式を元に戻せるか確かめます。

元に戻りました ○

やってみる2：分母が根号2つ

を有理化しなさい。

共役は 。

分母が消えました。

【検算1】、 として

一致 ○

【検算2】分母の計算を確認します。

○　2乗すると整数になるのが根号の性質です。

やってみる3：分子にも根号がある

を有理化しなさい。

分母の共役 をかけます。分子も同じものをかけるので、分子は2乗になります。

【検算1】値で確かめます。

一致 ○

【検算2】分子の展開を確認します。

○　まん中の項を忘れやすいので注意してください。

【検算3】約分できるか確認します。 は2でくくれます。

○

なぜ有理化するのか

理由	説明
大きさが分かる	なら約0.37とすぐ計算できる
計算しやすい	分母が整数なら通分が簡単
形がそろう	同じ数を1つの形で表せる

【検算】 のままだと、値の見当がつきにくい。有理化すれば ですぐ約0.37と分かります ○

共役はほかでも使う

この「符号を変えてかける」考え方は、高校でも同じ形で登場します。

• 数I：分母の有理化（3項の場合も）
• 数II：複素数の分母の実数化（ を消す）
• 数III：極限の計算（ を含む不定形を解消する）

使う公式はどれも だけです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 1項の有理化で終わりやすいから

のような形は同じ数をかけるだけ。ここまでは全員が理解します。

ところが2項になると発想が変わります。「同じものをかける」ではなく「符号を変えたものをかける」——この切りかえが説明されないと、手が止まります。

2. 「なぜ有理化するのか」が示されにくいから

教科書では有理化するものとして扱われます。理由は書かれていないことが多い。

値の見当がつくという実用的な理由を知ると、面倒な作業ではなくなります。

3. 乗法公式の応用だと気づきにくいから

有理化は平方根の単元、 は多項式の単元です。

単元が分かれているため、「あの公式が使える」と気づきにくい。公式を思い出せれば、覚えることは何もありません。

【検算】3つの方法

1. おおよその値で照合する

最も確実です。、、 を覚えておきます。

【検算】、 ○

2. 逆に戻せるか確かめる

【検算】 に をかけると元に戻る ○

3. 分母の計算だけ先に確認する

整数になっているかを見ます。

【検算】 ○　根号が残っていたら共役が違います

よくあるミス

ミス1：分母と同じものをかける

符号を変えた共役をかけます。

ミス2：分子にかけ忘れる

分母と分子の両方にかけます。

ミス3：2乗の展開でまん中の項を忘れる

です。

ミス4：約分を忘れる

共通因数がないか確認します。

ミス5：符号を取り違える

の共役は です。

ミス6：分母が0になる場合を見落とす

のような形は使えません。

練習問題

1. を計算しなさい。
2. を有理化しなさい。
3. 2の答えをおよその値で確かめなさい。
4. を有理化しなさい。
5. を展開しなさい。
6. を有理化しなさい。
7. 6の答えをおよその値で確かめなさい。

解答

1. 2
3. どちらも約0.366 ○
7. どちらも約3.732 ○

まとめ

• 分母が2項なら共役（符号を変えたもの）をかける
• 根拠は
• 分子にも同じものをかける
• 分子に根号があれば2乗の展開に注意
• 有理化すると値の見当がつく
• 検算は近似値／逆に戻す／分母が整数か

有理化は新しい技術ではなく、乗法公式の使い道の1つです。「根号を消したい → 2乗にすればよい → が使える」——この流れで考えれば、複素数でも極限でも同じ手が打てます。