座標平面上の三角形の面積の求め方｜中3関数y=ax²

座標平面上に3点があり、その三角形の面積を求める。高校入試で最も出題される図形問題の1つです。

ところが「底辺×高さ÷2」をそのまま使おうとすると、底辺も高さも斜めで測れない。ここで手が止まります。

解決法は3つあり、場面によって使い分けます。

結論：軸に平行な辺を作る

面積の公式が使えるのは底辺と高さが直角に交わるときです。座標平面では

• 軸に平行な辺を底辺にすれば、高さは 座標の差
• 軸に平行な辺を底辺にすれば、高さは 座標の差

軸に平行な辺さえ作れれば、面積は引き算だけで出ます。

方法は3つあります。

方法	使う場面	手間
1. 軸上に辺がある	1つの辺が軸に重なる	最小
2. 分割する	1点が軸上、または直線の切片を使う	中
3. 公式	どんな場合でも	計算のみ

方法1：辺が軸に平行なとき

、、 の三角形の面積を求めなさい。

BとCの 座標が同じ（どちらも1）。だからBCは 軸に平行です。

• 底辺BC
• 高さ （AとBCの 座標の差）

【検算】座標公式で確かめます（あとで説明します）。

一致しました ○

この型が最も速い。まず「同じ 座標、または同じ 座標の2点がないか」を探してください。

方法2：切片を使って分割する

入試で最も出るのがこの型です。2点が直線上にあり、原点を頂点とする三角形のような場合です。

直線 と放物線 の交点をA、Bとする。原点Oを頂点とする三角形OABの面積を求めなさい。

ステップ1：交点を求める

。直線に代入して 、。

ステップ2：直線の 切片で分割する

直線 の 切片は 。この点を とします。

OPを共通の底辺とすると、三角形OABはOPで2つに分かれます。

• 底辺OP
• △OPAの高さ … Aの 座標の絶対値
• △OPBの高さ … Bの 座標の絶対値

【検算】座標公式で確かめます。

一致しました ○

この方法の要点

「 切片で切る」と、底辺が 軸上に乗るので高さが 座標そのものになります。

2つの三角形の高さを足せるので、公式はこう書けます。

面積 ＝ （切片の長さ）× （2点の 座標の差）

先の例なら 。同じ答えです ○

ただしこれは、原点が頂点で、2点が 軸の両側にある場合の形です。同じ側にあるときは差を取ります（分割ではなく引き算になる）。

方法3：座標公式

3点 、、 の三角形の面積は

どんな場合でも使えます。図を描かなくても、座標さえ分かれば計算だけで出ます。

絶対値をつけるのを忘れないでください。点の順番によって符号が変わります。

【検算】先の2つの例で確認済みです。もう1つ試します。、、 の直角三角形。

底辺4・高さ3の直角三角形なので ○

1点が原点なら短くなる

、、 のとき、公式は

【検算】先の例（、、）で

一致 ○。原点を含む三角形なら、この短い形が最速です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 座標公式が中学の学習内容に含まれないから

3点の座標から面積を出す公式は、正式には高校（数II・図形と方程式）で扱われます。中学では分割する方法が標準です。

そのため公式を知らないまま入試に臨むことになります。使ってはいけないわけではありませんが、答案では途中の考え方を書く必要があるため、分割の方法も必要です。

公式は検算に使う——この使い分けが現実的です。分割で解いて、公式で確かめる。

2. 関数と図形が別の単元だから

この型の問題は関数（放物線・直線）と図形（面積）の融合です。ところが教科書では、関数は関数、図形は図形として別々に扱われます。

融合問題は入試で頻出ですが、教科書の単元構成には対応する場所がありません。だから入試対策として別に練習する必要が生じます。

3. 「軸に平行な辺を作る」という発想が言語化されにくいから

解答例には「切片をPとすると」のように結果だけが書かれます。なぜそこで切るのかは書かれません。

理由は「そこで切ると底辺が 軸に乗り、高さが 座標そのものになるから」です。この理由が分かれば、初見の問題でもどこで切るかを自分で決められます。

探すのは「軸に平行にできる線」——この一言を持っておいてください。

【検算】必ず2通りで計算する

座標の面積問題は2つの方法で計算して突き合わせるのが最も確実です。

三角形	分割で	公式で
		12 ○
		○
		6 ○

もう1つ、大きさの見当もつけてください。3点を囲む長方形の面積より必ず小さいはずです。

を囲む長方形は横6・縦4で面積24。三角形は12でその半分。妥当です ○

よくあるミス

ミス1：斜めの辺を底辺にしようとする

軸に平行な辺を探してください。なければ分割するか、公式を使います。

ミス2：高さを座標そのものにする

高さは座標の差です。底辺が 上にあり頂点の 座標が5なら、高さは4で5ではありません。

ミス3：公式で絶対値を忘れる

点の順番によっては負の値が出ます。面積は必ず正なので絶対値をつけます。

ミス4：交点を求め忘れる

放物線と直線の問題では、まず交点を求めるのが最初の作業です。座標が分からないと何も始まりません。

ミス5：2点が同じ側にあるのに足す

2点が 軸の同じ側にあるときは、分割ではなく引き算になります。図を描いて確認してください。

練習問題

1. 、、 の三角形の面積を求めなさい。
2. 、、 の三角形の面積を求めなさい。
3. 、、 の三角形の面積を、原点を含む形の公式で求めなさい。
4. 2を座標公式でも計算し、一致するか確かめなさい。
5. 直線 と放物線 の交点を求めなさい。
6. 5の2交点と原点でできる三角形の面積を求めなさい。

解答

1. 底辺は 軸上で5、高さは4。10。検算：公式で ○
2. 最初の2点は 座標が同じ（ 軸に平行）。底辺は 、高さは 。8
4. 8。一致しました ○
5. より 、。交点は と
6. 3。検算：切片2で分割すると ○

まとめ

• 面積を出すには軸に平行な辺が必要。まずそれを探す
• 座標が同じ2点、 座標が同じ2点があればすぐ解ける
• なければ直線の 切片で分割する。底辺が 軸に乗り、高さが 座標になる
• 原点を含むなら が最速
• 一般の3点は座標公式。絶対値を忘れない
• 検算は2通りで計算／囲む長方形より小さいか
• 放物線と直線の問題はまず交点を求める

座標を使って図形を扱う方法は、高校の数II「図形と方程式」で本格的に展開されます。図形の問題を計算に置き換える——この発想は、中3の関数と図形の融合問題がその入り口です。「軸に平行な辺を作る」という1つの方針を持っておくだけで、この分野の問題の見え方が変わります。