絶対値を含む方程式・不等式の場合分け｜数I数と式

は解ける。でも になると場合分けが必要で、しかも出た解を捨てるかどうかで迷う。数Iで最初に本格的な場合分けを求められる場面です。

手順は完全に決まっています。中身が0になる点で切る。そして必ず範囲を確認する。

結論：中身の符号で2つに分ける

絶対値の定義に戻ります。

（ のとき）　／　（ のとき）

だから は

• つまり のとき …
• つまり のとき …

切れ目は 。これは中身が0になる点です。

場合分けの境目＝絶対値の中身が0になる

自分で決めるのではなく、式が決めています。

手順は4ステップ

1. 中身が0になる を求める（＝境目）
2. 境目で範囲を2つに分ける
3. 各範囲で絶対値を外して解く
4. 出た解がその範囲にあるか確認する（範囲外なら捨てる）

ステップ4が最重要です。ここを飛ばすと、存在しない解を答えてしまいます。

やってみる：

ステップ1・2：境目は 。範囲は と 。

範囲1：

絶対値はそのまま外れます。

ステップ4： は を満たすか——満たしません。この解は不適です。

範囲2：

符号を変えて外します。

ステップ4： は を満たす——適します。

答えは です。

【検算】元の式に代入します。

両辺とも2で一致 ○

捨てた解も確認します。 なら左辺は 、右辺は 。6と で一致しません ○（不適だと確認できました）

なぜ範囲外の解が出るのか

範囲1では「 だと仮定して」絶対値を外しました。その仮定のもとで出た解が 。

仮定と矛盾しています。だからその解は存在しません。

「仮定して解いて、仮定と合うか確かめる」——場合分けとはこの作業です。確認を飛ばすと、仮定が崩れた解を答えることになります。

不等式の場合

を解きなさい。

不等式でも手順は同じですが、もっと速い方法があります。

絶対値を距離として読むと

　＝　「1からの距離が3未満」

数直線で1から左右に3ずつ動いた範囲なので

【検算】場合分けでも確かめます。

• のとき … より 。合わせて
• のとき … より 。合わせて

2つを合わせると ○。距離で読んだ結果と一致しました。

不等号の向きで公式が変わる

式	意味	答え
	からの距離が 未満
	からの距離が より大	または

なら「間」、 なら「外側2つ」——数直線を思い浮かべれば当然です。

【検算】 を確かめます。距離が3より大きいのは または 。

なら ○。 なら で不適 ○。境界の外側だけが解です。

絶対値が2つある場合

を解きなさい。

境目が2つになります。 と 。範囲は3つに分かれます。

範囲1：（両方とも中身が負）

は を満たす——適する。

範囲2：（1つ目は正、2つ目は負）

矛盾。この範囲に解はありません。

範囲3：（両方とも中身が正以上）

は を満たす——適する。

答えは です。

【検算】代入します。

• … ○
• … ○

両方とも成り立ちました ○

範囲2で矛盾が出たことにも意味があります。 では は常に3（2点間の距離）なので、5にはなりません。

【検算】 で 、 で 。確かに一定で3 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 中学で絶対値を「マイナスを取る」と覚えているから

中1で絶対値を習ったとき、扱ったのは のように中身が具体的な数でした。「マイナスを取る」で全問正解できます。

ところが では中身の符号が によって変わります。ここで初めて場合分けの定義が必要になる。

中学の理解では対応できない——ここが最初の壁です。定義に戻ることが必須になります。

2. 「範囲の確認」が答案に現れにくいから

模範解答には「これは範囲を満たすので適する」と書かれますが、なぜ確認が必要なのかは説明されません。

確認を飛ばしてもたまたま正解になる問題が多い（範囲外の解が出ない問題）。すると確認する習慣が身につかず、範囲外の解が出る問題で初めて失点します。

「仮定して解いた以上、仮定と合うか確かめる」——この論理を理解しておけば、確認を飛ばさなくなります。

3. 距離としての読み方が扱われにくいから

を「 からの距離」と読めば、不等式は場合分けなしで解けます。

ところが絶対値の定義（場合分け）と、距離としての意味は、別々に扱われることが多い。定義は数Iの実数、距離としての解釈は中1の数直線です。

両方を持っておくと、方程式は場合分け・不等式は距離で使い分けられ、大幅に速くなります。

【検算】3つの方法

1. 元の式に代入する

絶対値の中身を計算してから絶対値を取ります。最も確実です。

方程式	解	代入
		、 ○
		○
		○

2. 捨てた解も代入して確かめる

本当に不適かを確認します。 なら だが右辺は 。成り立たない ○

この確認をすると、場合分けの意味が体感できます。

3. 不等式は数直線で確かめる

境界の内側と外側で実際に値を入れてみます。

• の答え
• 内側の … ○
• 外側の … で不適 ○
• 境界の … で等号なので不適 ○

よくあるミス

ミス1：範囲の確認を飛ばす

仮定と合わない解は捨てます。これを忘れると、存在しない解を答えます。

ミス2：負のほうで符号を1つしか変えない

です。かっこの中全部の符号が変わります。 ではありません。

ミス3：境目を含める範囲を両方にする

と のように、境目はどちらか一方だけに含めます。両方に入れると重複します。

（どちらに入れても答えは同じです。境目では中身が0なので、 でも でも同じ値になるからです。）

ミス4：不等号の向きを取り違える

は「間」、 は「外側2つ」です。数直線を描けば迷いません。

ミス5：右辺が負のとき解があると思う

には解がありません。絶対値は必ず0以上だからです。場合分けする前に気づけます。

練習問題

1. を解きなさい。
2. を解きなさい。
3. を解きなさい。
4. を解きなさい。
5. を解きなさい。
6. を解きなさい。

解答

1. 2からの距離が6なので。検算：、 ○
2. 境目は 。
   ： より 。範囲内なので適する。
   ： より 、。範囲外なので不適。
   答えは。検算：、 ○
3. 4からの距離が2未満なので
4. 4からの距離が2より大なので または
5. 境目は と 。
   ： より 、。適する。
   ： より で矛盾。
   ： より 、。適する。
   答えは。検算： ○、 ○
6. 絶対値は0以上なので にはならない。解なし

まとめ

• 境目は中身が0になる 。自分で決めるのではなく式が決める
• 手順は①境目を出す ②範囲に分ける ③外して解く ④範囲を確認する
• ステップ4が最重要。仮定と合わない解は捨てる
• 不等式は距離として読むと速い。 は間、 は外側2つ
• 絶対値が2つなら境目も2つ、範囲は3つ
• はかっこの中全部の符号を変える
• 右辺が負なら解なし。絶対値は0以上

「仮定して解き、仮定と合うか確かめる」という構造は、高校数学のあらゆる場面で現れます。三角方程式の角の範囲、対数方程式の真数条件、無理方程式の同値性——どれも「解いた後に条件を確認する」という同じ作業です。数Iの絶対値は、その最初の練習です。ここで確認する習慣を作っておけば、その先の失点が大きく減ります。