三次関数の極値と増減表の書き方｜数II微分

増減表は作り方の手順が決まっています。迷うとしたら2か所だけ。

①符号をどう調べるか ②符号が変わらないときどうするか。この2つを押さえれば、増減表で困ることはなくなります。

結論：5ステップで作る

1. を求める
2. を解く（極値の候補）
3. 候補で数直線を区切り、各区間の符号を調べる
4. 表を書く（、、 の3段）
5. 符号の変わり方で極大・極小を判定

の符号	判定
から	極大
から	極小
変わらない	極値ではない

3行目が最も見落とされます。 でも極値とは限りません。

なぜ の符号で増減が分かるのか

はその点での接線の傾きでした。

• 傾きが正　→　右上がり　→　増加
• 傾きが負　→　右下がり　→　減少

増減表は「傾きの符号を並べた表」です。それ以上のことはしていません。

やってみる：

ステップ1・2

ステップ3：符号を調べる

各区間から代表の値を1つ選んで代入します。

区間	代表値		符号
	0
	2

因数分解した形 からも読めます。2つの因数の符号をかけ算するだけ。

ステップ4：表を書く

	…		…	1	…
		0		0
	↗	2	↘		↗

ステップ5：判定

• ： から なので極大値2
• ： から なので極小値

【検算1】極値を計算します。

○

【検算2】前後の値と比べます。

			0	1	2
		2	0		2

が山、 が谷になっています ○

【検算3】、 ○

符号が変わらない場合

の増減を調べよ。

の解は 。ところが

区間	代表値		符号
		3
	1	3

符号が変わっていません。したがって極値はありません。

【検算】実際の値を並べます。

			0	1	2
			0	1	8

ずっと増え続けています ○　山も谷もありません。

は極値の必要条件であって、十分条件ではない——これが3行目の意味です。

そもそも に解がない場合

の増減を調べよ。

なので 。実数解はありません。

常に増加で、極値はなし。

【検算】、、。増え続けている ○

極値の個数は判別式で決まる

3次関数 の導関数は2次式なので、判別式で解の個数が決まります。

の判別式	極値の個数
	2個（極大と極小）
	0個（符号が変わらない）
	0個（常に増加または減少）

【検算】3つの例で確かめます。

関数		判別式	極値
			2個 ○
			0個 ○
			0個 ○

極値は2個か0個のどちらか。1個ということはありません。

極大値と最大値は違う

3次関数は、範囲を決めなければ最大値も最小値もありません。 を大きくすればいくらでも大きくなるからです。

における の最大値と最小値を求めよ。

極値だけでなく、端点も比べます。

	（端）	（極大）	1（極小）	3（端）
		2		18

最大値18（）、最小値 （ と ）。

【検算】 ○　 ○

極大値2は最大値ではありません。端点の18のほうが大きい。極値は「まわりと比べて」の話だからです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「符号が変わらない」例が標準問題に出にくいから

教科書の例題は極値が2個ある場合が中心です。そこでは がそのまま極値になります。

そのため「 なら極値」と覚えてしまいやすい。 のような例は注意として1回出るだけのことが多く、印象に残りにくい構成です。

2. 極大値と最大値の違いが、定義域つきの問題でしか表れないから

定義域が実数全体なら、3次関数に最大値・最小値はありません。極値だけを求めて終わりになります。

ところが定義域が制限されると端点との比較が必要。この違いは別の設問として後から出てくることが多く、「極大値＝最大値」という思い込みが訂正されないまま進みやすい。

3. 増減表の「なぜ」が自明扱いになるから

が正なら増加——これは直感的に当たり前に見えます。だから説明が短くなる。

しかし「増減表は接線の傾きの符号を並べた表」という見方を持っているかどうかで、応用力が変わります。表の形を覚えるのではなく、符号を追う——それが本質です。

【検算】3つの方法

1. 各区間の代表値を に代入する

符号だけ分かればよいので、計算しやすい値を選びます。

【検算】、 ○

2. 極値の前後の の値を比べる

極大なら両隣より大きいはずです。

【検算】、、。山になっている ○

3. 極値の個数を判別式で確認する

2個か0個のはずです。1個なら計算ミス。

【検算】 の判別式は で2個 ○

よくあるミス

ミス1： をすべて極値とする

符号が変わるかを必ず確認します。

ミス2：極大値を最大値と答える

定義域があれば端点も比べます。

ミス3： の値を表に書く

表に書くのは符号（ と ）です。値は不要。

ミス4：極値の 座標を答えてしまう

極値は の値です。「 で極大値2」と書きます。

ミス5：区間の代表値を境界にとる

境界は なので符号が分かりません。内部の点を選びます。

ミス6：増減の矢印を逆に書く

なら ↗、 なら ↘。

練習問題

1. の増減表を作りなさい。
2. 1の極大値と極小値を求めなさい。
3. に極値がないことを説明しなさい。
4. に極値がないことを説明しなさい。
5. 3つの例について、 の判別式と極値の個数を対応させなさい。
6. における の最大値と最小値を求めなさい。
7. 極大値と最大値の違いを説明しなさい。

解答

1. 。符号は。 で極大、 で極小
2. 極大値2（）、極小値（）。検算： が間にある ○
3. は 以外で常に正。符号が変わらないので極値なし
4. で常に正。 の実数解がない
5. で2個、 で0個、 で0個。2個か0個のみ
6. 、、、。最大18、最小
7. 極大値はまわりと比べて大きい値。最大値は定義域全体で最も大きい値。6では極大値2より端点の18が大きい

まとめ

• 手順は① ② ③符号 ④表 ⑤判定
• → が極大、→ が極小
• 符号が変わらなければ極値ではない（）
• 3次関数の極値は2個か0個（判別式で決まる）
• 極大値 最大値。定義域があれば端点も比べる
• 増減表は接線の傾きの符号を並べた表
• 検算は代表値を代入／前後の値を比べる／判別式で個数

増減表は「関数の形を、符号の情報だけで再現する」道具です。グラフを正確に描かなくても、増える・減るの並びさえ分かれば、山と谷の位置が決まる。この考え方は数IIIの第二次導関数（グラフの凹凸）まで、そのまま拡張されていきます。